\begin{exo}
	On consid{\`e}re l'espace $\RR^2$ muni de la base
	canonique $B=(e_1,e_2)$. Soit $f$ l'application lin{\'e}aire donn{\'e}e par
	$f:\begin{cases}
		\RR^2& \rightarrow \RR^2 \\
		(u,v)&\mapsto (2u,-v)
	\end{cases}. $ dans la base $B$.
	\begin{enumerate}
		\item D{\'e}terminer la matrice $A$ de $f$ dans la base $B$.
		\item Montrer que les vecteurs $e'_1=(3,1)$ et $e'_2=(5,2)$ forment une
			base $B'$ de $\RR^2$.
		\item D{\'e}terminer la matrice $A'$ de $f$ dans le base $B'$ en calculant $f(e'_1)$ et
			$f(e'_2)$.
		\item Calculer les matrices de passage $P$ et $Q$ entre les bases $B$ et
			$B'$.
		\item D{\'e}terminer $A'$ par le formule de changement de base.
		\item Calculer les matrices de $f^5$ dans les deux
			bases
			\begin{indication} $A=PA'P^{-1}$ implique que $A^n=PA'^nP^{-1}$.
			\end{indication}
	\end{enumerate}

	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item $A=\left(
				\begin{array}{rr}
					2 &  0 \\
					0 & -1
				\end{array}
				\right)$.
			\item $e'_1=(3,1)$ et $e'_2=(5,2)$ non proportionnels.
			\item $f(e'_1)=(6,-1)=17e'_1-9e'_2$, $f(e'_2)=(10,-2)=30e'_1 -16e'_2$ d'o\`u
				$A'=\left(
				\begin{array}{rr}
					17 & 30 \\
					-9 & -16
				\end{array}
				\right)$.
			\item $P=\left(
				\begin{array}{rr}
					3 & 5 \\
					1 & 2
				\end{array}
				\right)$,  $Q=P^{-1}=\left(
				\begin{array}{rr}
					2 & -5 \\
					-1 & 3
				\end{array}
				\right)$.
			\item $A'=  \left(
				\begin{array}{rr}
					2 & -5 \\
					-1 & 3
				\end{array}
				\right) \left(
				\begin{array}{rr}
					2 &  0 \\
					0 & -1
				\end{array}
				\right)   \left(
				\begin{array}{rr}
					3 & 5 \\
					1 & 2
				\end{array}
				\right) =  \left(
				\begin{array}{rr}
					17 & 30 \\
					-9 & -16
				\end{array}
				\right)$.
			\item $f^5$ a pour matrice $A^5=\left(
				\begin{array}{rr}
					32 &  0 \\
					0 & -1
				\end{array}
				\right)$ dans la base $B$ et $A'^5=\left(
				\begin{array}{rr}
					197 & 330 \\
					-99 & -166
				\end{array}
				\right)$ dans la base $B'$.
		\end{enumerate}
	\end{correction}
\end{exo}
%=============




\begin{exo}
	On consid{\`e}re l'espace $\RR^3$ muni de la base
	canonique. Soit $f:\begin{cases}
		\RR^3 & \rightarrow \RR^3 \\
		(x,y,z) &\mapsto ( x+y+z, 2x -z, -3x+y+3z)
	\end{cases}.$
	\begin{enumerate}
		\item D{\'e}terminer une base de $\ker f$ et en d{\'e}duire la dimension de $\im f$.
		\item D{\'e}terminer la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique et
			\begin{enumerate}
				\item v{\'e}rifier que les vecteurs colonnes de $A$ sont li{\'e}s et en d{\'e}duire une base de $\im f$.
				\item v{\'e}rifier que $\ker f$ est orthogonal (pour le produit scalaire canonique
					de $\RR^3$) aux vecteurs lignes de $A$.
			\end{enumerate}
		\item L'{\'e}quation $f(x,y,z)=(1,-2,-1)$ a-t-elle des solutions ? Faire deux preuves
			diff{\'e}rentes.
		\item Quel est l'ensemble des solutions de l'{\'e}quation $f(x,y,z)=(1,2,-3)$ ?
			Plus g{\'e}n{\'e}ralement, d{\'e}crire l'ensemble des solutions de l'{\'e}quation $f(x,y,z)=Y$,
			lorsque $Y \in \im f$.
	\end{enumerate}
	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item $\ker f = \vect( (1,-3,2))$ d'o\`u $\dim(\im f) = 2$.
			\item $A=
				\begin{pmatrix}
					1 &  1 & 1 \\
					2 &  0 & -1  \\
					-3 & 1 & 3
				\end{pmatrix}= \left(u_1,u_2,u_3 \right) $.
				\begin{enumerate}
					\item on a $u_1 -3 u_2 = -2u_3$. $(u_1,u_2)$ forme une base de $\im f$ car
						$u_1$ et $u_2$ ne sont pas proportionnels.
					\item calcul. remarque : les vecteurs lignes aussi sont li\'es.
				\end{enumerate}
			\item On r\'esoud l'\'equation ou bien on voit que $(1,-2,-1) \notin \im f$ car
				$(1,-2,-1)$ est orthogonal \`a $u_1$ et \`a $u_2$.
			\item On a $f(X)=(1,2,-3)=f(e_1)$ ssi $X \in e_1 + \ker f$. Pour le cas g\'en\'eral,
				si $Y\in \im f$, soit $X_0 \in \RR^3$ tel que $f(X_0)=Y$ alors l'ensemble des solutions
				est $X_0 + \ker f$.
		\end{enumerate}

	\end{correction}
\end{exo}
%=============


